“La filosofía general es un estudio conceptual, en donde el método es lo mas importante.” ~Kurt Gödel
El teorema de Gödel es de los resultado o productos más profundo en la lógica matemática. Tanto así que se cree que tiene consecuencias filosóficas importantes en lo que refiere a los límites del conocimiento y el campo natural de la mente.
Pintura al óleo de Urs Schmid (1995) de un embaldosado de Penrose con rombos gordos y flacos.
En el sistema de la lógica moderna, es posible expresar enunciados aritméticos. Por ejemplo,
“Para cualquier par de números n y m, n + m = n + m.”
También es posible escribir los axiomas (denominados “Axiomas de Peano”), desde donde se puede probar muchas verdades matemáticas. Se planteó la cuestión de si se puede demostrar a partir de estos axiomas todas las verdades aritméticas, sin demostrar ninguna declaración falsa. Gödel respondió negativamente a esta pregunta. En primer lugar, descubrió un código mediante el cual la declaración aritmética también tienen una interpretación en la que están en sí mismos y donde también pueda ser probada por otros varios axiomas. Luego encontró una instrucción aritmética (K) que dice que bajo la codificación “(K) no es demostrable.” Razonó que si (K) es demostrable entonces los axiomas resultan falsa declaración. Pero si (K) no es demostrable, entonces es verdad, y hay una verdad que los axiomas no prueban. No sólo hay verdades aritméticas que no pueden ser probadas desde los axiomas de Peano, sino también los verdaderos axiomas dejarán algunas verdades tan indemostrables (Que no se puede demostrar, ejemplo: la existencia de Dios es indemostrable mediante las herramientas de la ciencia). Esto se conoce como “Teorema de Gödel datos incompletos.” Parece entonces establecer un límite a lo que los matemáticos pueden saber.
Para cualquier (bastante fuerte) teoría matemática, existen afirmaciones verdaderas que no se puede en esa teoría.
Algunos filósofos y el físico Roger Penrose, han afirmado que el teorema de Gödel demuestra que nuestras mentes no funcionan como computadoras. Siguiendo un programa que es análoga a demostrar un teorema.
Gödel demostró que para cualquier sistema de axiomas, la afirmación de que el sistema es consistente no se puede demostrar por el propio sistema. Así que si nuestras mentes funcionan como un ordenador después de un programa que no podía reconocer que somos consistentes. Pero parece capaz de reconocer nuestra propia coherencia. Por lo tanto, nuestras mentes no funcionan como computadoras.
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Kurt Gödel (1906-1978)
Roger Penrose (1931 – ) Penrose es conocido internacionalmente por su trabajo científico en la física matemática, en particular por sus contribuciones a la relatividad general y la cosmología. Ha recibido varios premios y reconocimientos, incluyendo el premio 1988 del lobo para la física, que compartió con Stephen Hawking por su contribución a nuestra comprensión del universo. Penrose asistió a la Escuela University College y el University College de Londres, donde se graduó con un título de primera clase en matemáticas. En 1955, siendo aún estudiante, Penrose volvió a introducir el EH Moore generalizada matriz inversa, también conocida como la Moore-Penrose inversa.
*Incluso reemplazando su cerebro con un ordenador. Gödel no pudo averiguar las verdades desconocidas.
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