“EL TEOREMA DE GÖDEL”.
El teorema de Gödel es el resultado más profundo en la lógica matemática. Se cree que tiene importantes consecuencias filosóficas para los límites del conocimiento y la naturaleza de la mente. En el sistema de la lógica moderna, es posible expresar enunciados aritméticos, por ejemplo, “Para cualquier par de números n y m, n + m = m + n”. También es posible escribir axiomas (llamados “axiomas de Peano”). De la cual uno puede probar muchas verdades matemáticas. Surgieron las preguntas de si uno puede probar a partir de estos axiomas todas las verdades aritméticas, sin probar ninguna declaración falsa. Kurt Gödel respondió negativamente a esta pregunta. Primero, descubrió una codificación mediante la cual la afirmación aritmética también tiene una interpretación en la que se refieren a ellos mismos y lo que puede probarse a partir de varios axiomas. Luego encontró una afirmación aritmética (K) que dice que bajo la codificación “(K) no es comprobable”. Él razonó que si (K) es demostrable, entonces los axiomas prueban la afirmación falsa. Pero si (K) no es demostrable, entonces es verdad, y hay una verdad que los axiomas no prueban. No solo hay verdades aritméticas que no pueden probarse a partir de los axiomas de Peano, sino que también cualquier axioma verdadero dejará fuera algunas verdades como no probadas. Esto se llama “Teorema de incompletitud de Gödel”. Parece establecer un límite en lo que los matemáticos pueden saber.
Incluso al reemplazar su cerebro con una computadora, Kurt pudo descifrar esas verdades incognoscibles.
Para cualquier teoría matemática (suficientemente fuerte), hay afirmaciones verdaderas que no pueden demostrarse allí.
Algunos filósofos, y el físico Roger Penrose, han afirmado que el teorema de Gödel muestra que nuestras mentes no funcionan como las computadoras. Seguir un programa es análogo a probar un teorema.
Gödel demostró que, para cualquier sistema de axiomas, la afirmación de que el sistema es consistente no puede ser probada por el sistema mismo. Entonces, si nuestras mentes funcionaran como una computadora siguiendo un programa, no podríamos reconocer que somos consistentes. Pero parece que somos capaces de reconocer nuestra propia consistencia, por lo tanto, nuestras mentes no funcionan como computadoras.
Filosofías relacionadas:
LA PARADOJA DE EPIMÉNEDES. (Revela un problema con la autorreferencia en lógica. Lleva el nombre del filósofo Cretense Epiménides de Knossos (vivio alrededor del 600 aC) a quien se le atribuye la declaración original. … Epimenides era un Cretense que hizo una declaración inmortal: “Todos los Cretenses son mentirosos”.)
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Biografías:
KURT GÖDEL.- (28 de abril de 1906 – 14 de enero de 1978) fue un lógico, matemático y filósofo austríaco y luego estadounidense. Considerado junto con Aristóteles, Alfred Tarski y Gottlob Frege como uno de los lógicos más importantes de la historia, Gödel tuvo un gran impacto en el pensamiento científico y filosófico del siglo XX, un momento en el que otros como Bertrand Russell, Alfred North Whitehead y David Hilbert estaba analizando el uso de la lógica y la teoría de conjuntos para comprender los fundamentos de las matemáticas iniciados por Georg Cantor.
SIR ROGER PENROSE OM FRS (nacido el 8 de agosto de 1931) es un físico matemático inglés, matemático y filósofo de la ciencia. Es profesor emérito de Rouse Ball de Matemáticas en la Universidad de Oxford y miembro emérito de Wadham College, Oxford.
Penrose es conocido por su trabajo en física matemática, en particular por sus contribuciones a la relatividad general y la cosmología. Ha recibido varios premios y reconocimientos, incluido el Premio Lobo de 1988 por la física, que compartió con Stephen Hawking para los teoremas de singularidad de Penrose-Hawking.
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